일치격자 · Σ · Ranganathan 생성식 · Brandon 기준의 수학적 정의.
결정 격자점은 기저벡터 $\mathbf{a}_i$의 정수합 $\mathbf{r}=\sum_i n_i\mathbf{a}_i$ ($n_i\in\mathbb{Z}$)로 표현된다. 두 번째 결정은 회전 $R(\hat{\mathbf{n}},\theta)$로 얻는다(Rodrigues):
$$R=\mathbf{I}\cos\theta+(1-\cos\theta)\,\hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^{\!\top}+[\hat{\mathbf{n}}]_\times\sin\theta$$
회전 후에도 겹치는 격자점(coincidence site)은 원래 격자점 $\mathbf{r}$이면서 $R\mathbf{r}$도 격자점인 점이다. 이들은 원래 격자의 부분격자(sublattice)를 이루며 이것이 CSL이다.
$$\text{CSL}=\{\mathbf{r}\in\Lambda \mid R\mathbf{r}\in\Lambda\}$$
$\Sigma$는 CSL 단위세포 부피와 결정 단위세포 부피의 비, 즉 격자점 $\Sigma$개마다 하나가 일치점이다.
$$\Sigma=\frac{V_{\mathrm{CSL}}}{V_{\mathrm{cell}}}=\frac{1}{(\text{일치점 밀도})}$$
관례상 $\Sigma$는 홀수(입방정에서 2의 인수를 제거). $\Sigma=1$은 두 결정이 동일 방위(경계 없음).
공통 회전축 $[hkl]$ ($N=h^2+k^2+l^2$) 둘레의 회전에서, 정수 $m,p$에 대해 CSL이 생긴다:
$$\Sigma'=m^2+p^2N,\qquad \theta=2\arctan\!\Big(\frac{p\sqrt{N}}{m}\Big)$$
$$\Sigma=\frac{\Sigma'}{2^{\alpha}}\quad(\Sigma'\text{에서 2의 인수를 모두 제거})$$
예([001], $N=1$): $(m,p)=(3,1)\Rightarrow\theta=2\arctan\tfrac13=36.87^\circ,\ \Sigma'=10\Rightarrow\Sigma=5$. → 유명한 Σ5. 이 식으로 그린 것이 시각화 페이지의 Σ–θ scatter다.
| 축 | 대표 CSL (Σ, θ) |
|---|---|
| [001] | Σ5 36.87° · Σ13 22.62° · Σ17 28.07° · Σ25 16.26° |
| [111] | Σ3 60° · Σ7 38.21° · Σ13 27.80° · Σ21 21.79° |
| [110] | Σ3 70.53° · Σ9 38.94° · Σ11 50.48° · Σ19 26.53° |
실제 경계는 이상적 CSL 각도에서 편차 $\Delta\theta$를 갖는다. 여전히 그 $\Sigma$ 경계로 인정하는 최대 편차:
$$\Delta\theta_{\max}=\frac{\theta_0}{\sqrt{\Sigma}},\qquad \theta_0\approx15^\circ$$
$\Sigma$가 클수록 허용범위가 좁다. 그래프의 하늘색 막대가 $\pm\Delta\theta_{\max}$이다.
2D 정사각 격자([001] twist에 해당)를 $\theta$만큼 회전시킨 뒤, 원점 격자와의 거리가 허용오차 $\varepsilon$ 이내인 점을 일치점으로 센다(coincidences2D). Σ–θ 점은 위 Ranganathan 식(sigmaSeries)으로 생성하고, Brandon 막대는 $15^\circ/\sqrt{\Sigma}$로 그린다(js/csl2d.js).
참고: 이 사이트는 동일격자(same-lattice) CSL(고전 결정립계 이론)을 다룬다. 서로 다른 두 상(이종상) 계면의 근사 일치는 재료별 도구 Cu//Cu₆Sn₅ · Cu//G-phase 참고.
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